Take Five
Fabienne supporte difficilement la musique de son père Patrick qui dispose de deux versions de « Take five » : la version courte de 5 minutes et celle plus longue de 10 minutes. Pour Fabienne il n’est pas possible ni de distinguer le début de la fin ni de distinguer la version courte de la version longue. Et elle n’en a pas envie ! Juste elle peut dire : « C’est « Take Five » ! » ou pas. Sa culture du jazz s’arrête à cela.
On suppose que Patrick choisit la version courte une fois sur deux (et donc de même pour la version longue).
Question 1
Maintenant imaginons que Fabienne arrive à proximité de l’appartement familiale. La musique commence !Qu’elle est la probabilité qu’elle subisse la version courte de Take Five?
Question 2
La deuxième situation est plus subtile. Fabienne arrive à proximité de l’appartement et elle ne sait pas si le morceau de musique est commencé depuis longtemps. On suppose qu’elle n’en sait vraiment rien ni de la première seconde ni de la dernière. Le morceau est bien entamé ou pas du tout. On suppose que toutes les solutions possibles sont équiprobables.Quelle est la probabilité que Fabienne et Patrick écoutent la version courte ?
Question 3
Continuons avec cette seconde situation. Fabienne annonce le résultat à son père : « Il y a une probabilité p que ce soit la version longue ? ». On suppose que p soit la bonne réponse.Que répond Patrick à sa fille ? Attention, astuce ! Dites simplement pourquoi la réponse de Patrick est différente de celle de sa fille.
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Réponse 1
Pour la première question, on a une probabilité de 1/2, par application directe de la définition, soit le nombre de cas favorables divisé par le nombre de cas total (favorables et défavorables).Ici les cas concernent les débuts de morceaux (et eux seulement).
Réponse 2
La seconde question est plus subtile, car on doit considérer l’ensemble de tous les instants de musique possibles (et non plus les seuls débuts). « Et cela fait beaucoup ! » selon Fabienne. Plus sérieusement, un mathématicien parlerait de densité de probabilité. Si l’on envisage tous les cas possibles, c'est-à-dire plusieurs diffusions des deux versions, on s’aperçoit de ceci : la durée cumulée des versions courtes est moitié moindre de celle des versions longues.Donc du point de vue de Fabienne pouvant arriver à tout moment (ou du moins Patrick ayant démarré à tout instant), il y a 2/3 que Fabienne arrive pendant la diffusion de la version longue !
Réponse 3
Mais il y a un mieux ! On a une probabilité 2/3 vue par Fabienne. Soit ! Un mathématicien dira prudemment « Selon son univers !», c’est-à-dire en prenant en compte des (densités de) probabilités sur un axe des temps.Mais Patrick répond à sa fille : « Heu non ! Pour moi c’était ½ ! ». Du moins au moment de son choix, parce qu’il compte suivant les événements que lui voyait et simplement cela. Mais sa fille voit une autre ensemble d'événements.
Le père et la fille sont dans deux univers différents, probabilités, musical… et autres !
Néanmoins si le père, par distraction, a oublié son choix, il peut considérer la visite de sa fille comme donnant une information et se dire à son tour : "Tiens Fabienne ! Il y a deux chance sur trois que tu écoutes la version longue !". (Cette remarque m'a été faite par MM. Gerville-Réache et Delabre que je remercie.)