La belle au bois dormant
Le problème probabiliste de la Belle au bois dormant(1) est un exemple célèbre de glissement bayésien : une probabilité change de valeur si l’on prend en compte un événement particulier.
Pour les spécialistes on note que P(A) est différent de P(A|e) dans le cas général (on lit "probabilité de A sachant l’événement e").
Les expérimentateurs endorment Aurore le dimanche soir, puis font un tirage au sort avec une pièce non truquée :
- Face : on réveille Aurore le lundi et les expérimentateurs ont un entretien avec elle ;
- Pile : on réveille Aurore le lundi et les expérimentateurs ont un entretien avec elle, puis ils l’endorment à nouveau avec un traitement qui lui fait oublier la journée du lundi ; les expérimentateurs la réveillent une seconde fois le mardi et ont un entretien avec elle.
Aurore est bien au courant de cette procédure. Lors de chacun des entretiens, on demande à Aurore quel jour on est. Deux points de vue divergent :
- Pour les expérimentateurs, il y a bien une chance sur deux pour tirer pile ou face le dimanche soir ;
- Mais les jours suivants la suite est plus subtile : pile occasionne deux fois moins de réveils que face, et ainsi les lundis sont bien sûr plus nombreux que les mardis.
Imaginons que l’on fasse 100 fois cette expérimentation : on aura 100 réveils le lundi et environ 50 réveils le mardi. Si Aurore cherche à répondre avec le maximum de chances, elle a intérêt à répondre lundi !
Notons "e" le fait qu’Aurore soit réveillée :
- P(face) = P(pile) = 1/2
- Mais P(face|e) = 2/3 et P(pile|e) = 1/3.
Autre raison d’avoir un résultat différent : le 1/2 est issu d’un simple tirage au sort, mais le 2/3 dépend d’une procédure différente. (Les spécialistes parlent d’univers différents : Aurore ne voit plus le pile ou face de départ, mais un ensemble d'événements plus vaste.) On peut trouver d'autres types de démonstrations donnant le même résultat, par exemple sur le site du CNRS "Markov et la Belle au bois dormant" Article ici .
Dans ce menu, vous trouverez d’autres histoires inédites procurant le même phénomène.
Ce document pdf cliquez ici montre un développement plus complet de ce thème.
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(1) A ce sujet on peut lire l'article suivant : "La Belle au bois dormant, la fin du monde et les extraterrestres" par Jean-Paul Delahaye. © Pour la science -N° 309 juillet 2003. Article ici .