Probabilités et énigmes

Maîtriser les probabilités en s'amusant ?

C'est possible avec quelques énigmes célèbres ou inédites !

L’Argument de l’Apocalypse

Diablotin

Le paradoxe de Leslie (c’est l’un de ses autres noms (9)) repose lui aussi sur l’utilisation de la formule de Bayes.

Imaginons (il n’y a rien de réel) que quelque part existent des mondes dont leurs issues seraient soumises à deux hypothèses que l’on met en concurrence (10):

  • La théorie A : l’humanité du monde considéré disparaîtra en 2150 ;
  • La théorie B : l’humanité du monde considéré disparaîtra plus tard.
Analysons leurs populations respectives et reprenons les chiffres du Monde « bien de chez nous ».
  • Selon la théorie A, un humain sur 10 aura connu l’an 2000. On aura donc 5 milliards de personnes ayant vu l’an 2000 sur un total de 50 milliards à travers les âges.
  • Dans le cas B, l’humanité considérée aura alors eu une population plus large. Pour fixer les calculs, disons qu’un humain sur 1000 aura connu l’an 2000. Là aussi 5 milliards de personnes auront vu l’an 2000, mais sur un total de 5 000 milliards de personnes.
Et pour terminer avec les hypothèses, précisons que :
  • la théorie A a une chance sur 100 d’exister (ou d’être en cours) ;
  • quant à la théorie B, on lui donne 99% de chance d’exister.
Supposons que Carter m’envoie dans l’un de ces mondes . Appelons E cet événement d’appartenir à l’un de ces mondes. Qu’est-ce qui me rend le plus probable d’avoir connu l’an 2000 ? Est-ce la théorie A ou la B ? Je devrais répondre en toute logique la théorie B à 99%. Mais considérons les probabilités conditionnelles, soit \(P(A|E\)) et \(P(B|E)\). Si j’applique la formule de Bayes, je devrais avoir confirmation de ces 99%. Or, cette formule m’annonce la fin du monde proche avec un fort 50,25% !

Apocalypse_Tb_01

D’où vient ce changement ?

  • D’un côté, je peux affirmer que le lien entre entre l’événement E et les hypothèses A (« je suis tombé dans un monde fou !) ») et B (« j’ai peu de raisons de m’en faire ») n’a ici aucune importance et je ne peux pas appliquer la formule de Bayes.
  • D’un autre, je peux dire qu’il y a un événement E tout à fait digne d’intérêt et à prendre en compte .
Le débat semble facile à conclure. Il n’en est rien :
  • Ainsi, certains avancent que la formule Bayes ne serait pas applicable ici.
  • D’autres ajoutent des considérations supplémentaires, mais cela revient à changer les hypothèses du problème.
  • J’aurais mieux fait de ne connaître ni Carter ni l’An 2000, car le calcul serait exact !

Question

En vous inspirant des pages précédentes, pouvez-vous rectifier les calculs ?

Réponse

Plus rationnel, le mathématicien français Jean-Paul Delahaye démontre que l’emploi de la formule de Bayes est source de pièges et a proposé une explication dans (11) et (12). On peut aussi se rappeler le Pâté d’alouette (ou voir (13)) et rectifier le tableau vu plus haut.

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Sous forme algébrique, on aurait écrit : \[P(B|E) = \frac{0,1\%.5.10^{12}.99\%}{0,1%.5.10^12.99\%+10%.50.10^9.1\%} = \frac{99\%}{99\%+1\%} = 99\% = P(B) \] De façon similaire, on obtient aussi : \[P(A|E)=\frac{1\%}{99\%+1\%} =1\%=P(A)\] La formule du texte ne prenait pas en compte les populations. Cela ressemble au problème du Pâté d’alouette où le producteur ne pondérait pas avec les poids des animaux. La formule fallacieuse sans pondération était :

\[P(B|E)=\frac{0,1\%.99%}{0,1\%.99\%+10\%.1\%}...???\] L’exercice n’est pas trop différent de celui du pâté d’alouette, mais les chiffres mis en jeu sont notablement différents. Et une erreur de raisonnement est vite arrivée !

On peut se demander où était le piège ? Maintenant que tout est au grand jour, chacun peut choisir sa méthode de raisonnement :
  • Jean-Paul Delahaye parle d’anamorphoses (c’est-à-dire une forme de déformation), d’effet de loupe ou de filtre (on ne regarde que les 5 milliards d’individus présents en l’an 2000).
  • La confusion entre moyenne et moyenne pondérée est la cause du raisonnement fallacieux.
  • L’événement E n’apporte aucune information (14) et il n’y pas lieu de faire des calculs inutiles (si on l’on passe outre, c’est un droit, mais cela n’autorise pas à faire dire n’importe quoi à Bayes).
On peut aussi affirmer que ces explications sont toutes synonymes. Choisissez celle que vous voulez. C’est une affaire de goût.

Conclusion

Selon une formule célèbre, « Un topologue est une personne qui ne connaît pas la différence entre une tasse de café et un beignet ». Maintenant, on peut dire qu’ « un probabiliste est une personne qui connaît la ressemblance entre l’Apocalypse et un pâté d’alouette ».

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(9) On peut affirmer que l’usage a validé un anglicisme. « Argument » se traduit ici par « Débat ».

(10) On reprend ici la formulation présentée par Jean-Paul Delahaye, Au pays des paradoxes, Belin, Pour la science, 2008

(11) Jean-Paul Delahaye, Au pays des paradoxes, Belin, Pour la science, 2008

(12) "La Belle au bois dormant, la fin du monde et les extraterrestres" par Jean-Paul Delahaye. © Pour la science -N° 309 juillet 2003. Article ici .

(13) Philippe Gay, Édouard Thomas, Détournement de Bayes, Tangente n°136, Septembre-Octobre 2010

(14) Il existe sans doute plusieurs façons d’expliquer pourquoi E n’apporte aucune information. Si ceci est admis, il n’y a plus besoin de faire de longs calculs. Mais il resterait une énigme : pourquoi Bayes serait incohérent et nous mettrait sur une fausse piste ? Pour un probabiliste, il est tout aussi important de voir que la formule de Bayes n'est pas erronnée.