Probabilités et énigmes

Maîtriser les probabilités en s'amusant ?

C'est possible avec quelques énigmes célèbres ou inédites !

Les biscuits d’Alice et de Béatrice

Biscuits

Le « sachant E » (que l'on note "|E") peut aller jusqu’à contredire les premières observations.

Pour illustrer cela, imaginons une charmante histoire qui illustre la formule de Bayes (1). Il s'agit de comparer probabilités et probabilités conditionnelles.

Alice pour son quatre-heures, dispose d’une boîte de dix biscuits :

  • neuf au chocolat ;
  • et un aux dattes.
Béatrice dispose aussi d’une boîte de dix biscuits :
  • cinq au chocolat ;
  • et cinq aux dattes.
L’une d’entre elles donne un biscuit à Marguerite. Je ne sais pas qui, mais je suppose qu’Alice est la plus généreuse :
  • Alice a 60% de chances d’être la donneuse ;
  • et Béatrice 40%. Ces possibilités sont notées A et B.
Leurs probabilités sont :
  • \(P(A)=60\%\)
  • \(P(B)=40\%\)
et bien sûr : \[P(A)+P(B)=1\] Maintenant, Marguerite choisit un biscuit au hasard. Elle en obtient un aux dattes. Je peux continuer de dire qu’Alice est surement la gentille donneuse, avec une probabilité de 60%. Mais je me souviens qu’elle n’avait que très peu de biscuits aux dattes dans sa boîte : un seul ! Et c’est tout l’inverse chez Béatrice : cinq en tout. Je dispose d’une information (on dit parfois un événement) supplémentaire E qui me permet de voir Béatrice monter dans mon estime.

Je suppose que chaque biscuit au sein d’une boîte a autant de chance d’être choisi par Marguerite que les neuf autres. Sans faire de calculs, chacun peut dire :

  • \(P(A) > P(A|E)\) : mon observation de E, c’est-à-dire le biscuit aux dattes dans la main de Marguerite, me donne quelques doutes sur la générosité supposée d’Alice.
  • \(P(B) < P(B|E)\) : le quasi monopole de Béatrice sur les biscuits aux dattes m’incite à reconsidérer mon évaluation de départ en sa faveur.
Quel que soit le résultat, on aura : \[P(A|E)+P(B|E)=1\] La formule de Bayes [7] permet de chiffrer P(A|E) et P(B|E), et ainsi d’obtenir un résultat plus précis. La formule, même restreinte à deux hypothèses de départ, ici A et B, est plutôt ardue :
\[P(A|E)=\frac{P(A).P(E|A)}{P(A).P(E|A)+P(B).P(E|B)}\] De façon similaire :
\[P(B|E)=\frac{P(B).P(E|B)}{P(A).P(E|A)+P(B).P(E|B)}\] On vérifie :
\[P(A|E)+P(B|E)=1\]
Ces calculs permettent d’obtenir un rapport \(P = \frac {\text{Nombre de cas favorables}}{\text{Nombre de cas possibles}}\) plus précis par notre connaissance de l’événement E.

Il est souvent plus commode et plus sûr d’éviter de présenter la réponse sous sa forme littérale comme ci-dessus et de choisir une représentation plus claire [8] :

  • sous forme de tableau, qui permet une vérification rapide ;
  • ou sous forme de graphes, qui guidera votre raisonnement.
Examinons les deux méthodes.

Tableau

Graphe 01

Les deux dernières lignes du tableau regroupent les termes nécessaires à l’application de la formule de Bayes.

Graphes

Graphe 01

Graphe 02


Conclusion

Béatrice avait une probabilité de seulement 40% d'être la donneuse. Mais connaître E m'a fait changer d'avis : Béatrice a maintenant 77% d'être la bonne copine.

Dans cet exemple, le « sachant E » change fortement les probabilités.

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(1) Thomas Bayes (1702, 1761), mathématicien britannique et pasteur de l’Église presbytérienne.