La Reine d'Angleterre
« Si vous admettez que \(1+1 = 3\), je peux vous prouvez que je suis la Reine d’Angleterre. »
affirmait le mathématicien, logicien et philosophe anglais Bertrand Russell.
Au-delà de l’anecdote, il y a un problème de logique : si vous admettez un résultat faux vous arriverez à quelque chose de faux... ou juste... ou à rien du tout !
Avec les probabilités, on est jamais loin de la logique. Examinons cette probabilité conditionnelle :
P(« Je suis la reine d’Angleterre » | « 1 + 1 = 3 » ).
Si vous "savez" que \(1 + 1 = 3\), quelle est donc la probabilité que je sois la plus célèbre des compatriotes de Bertrand Russell ?
Comment traiter cette improbable relation ?
De façon pragmatique on peut refuser de répondre en affirmant qu’elle n’a aucun sens. En réalité, on dit en tel cas que cette expression est indéterminée, car rencontrer une expression du type \(P(E | 0)\) est tout à fait possible et la question existe bien.
A partir de ce constat, il n’y a pas de règles pour déterminer \(P(E) = P(\)"Je suis la Reine d'Angleterre"\()\) :
- Soit vous ne possédez pas assez d’éléments pour savoir si je suis la reine d’Angleterre et vous concluez que \(P(E)\) est indéterminée (inutile d'ajouter qu’ « indéterminé » ne veut jamais dire « 50% »!).
- Soit vous disposez de suffisamment de ces éléments par ailleurs et vous pouvez alors fixer une valeur à \(P(E)\) comprise entre Zéro et Un.
L’idée de ce commentaire m’est venue suite à la lecture d’un article où son auteur avait détecté un logique \(P(E | 0)\), mais concluait hâtivement que \(P(E)\) était indéterminée.
Pourquoi pas, est-ce aussi sûr ?