La soif s’en va en buvant. Le permis aussi !
Un probabilité est dite conditionnelle si celle-ci prend en compte un autre événement. Prenons un exemple simple.
La police arrête Vincent qui le suspecte d’avoir pris un petit verre de trop. Il est impossible pour le moment de dire quelle est la probabilité qu’il soit positif à un test d’alcoolémie. Notons \(P(A)\) cette probabilité, dont on ne dispose d’aucune valeur (1).
Mais voici que Sandrine m’informe que notre ami Vincent a bu plus que de raison au mariage d’un ami : apéro, vin, champagne et digestif. J’ai toute confiance dans son témoignage. Cette donnée supplémentaire \(E\) me renseigne. Et j’estime que notre pauvre Vincent a environ \(99\%\) d’être verbalisé (2).
En un tel cas, on note :
\[P(A|E)=99\% \]
On lit « Probabilité que \(A\) soit vrai sachant \(E\) ». Le signe « | » (sachant) est important. On voit que \(P(A)\) et \(P(A|E)\) peuvent prendre des valeurs différentes.
Plus j'aurai d’informations pertinentes et plus mon résultat sera précis (3).
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(1) Une probabilité devrait toujours être un rapport du type \(P = \frac {\text{Nombre de cas favorables}}{\text{Nombre de cas possibles}}\). Ici ce rapport est de la forme indéterminée \(P = \frac {\text{0}}{\text{0}}\). En pareil cas, il faut s'abstenir de tout développement et éviter de supposer que les cas sont équiprobables.
(2) J’ai obtenu ce chiffre en me rappelant que Sandrine ne s’est trompée qu’une seule fois en une centaine d’observations. J’ai donc une valeur que j’estime à tort ou à raison suffisamment précise. Ce genre de probabilités peut entraîner un nombre assez grand de suppositions. Par exemple, une analyse mathématique plus poussée dirait que je considère des processus stationnaires : la probabilité que Sandrine se trompe n’a pas varié lorsqu’elle m’a rapporté son dernier témoignage. De façon plus simple, est-ce que les témoignages antérieurs de Sandrine sont valides pour juger ce fait nouveau ?
(3) Du moins avec cet exemple ! Et dans le domaine scientifique, où multiplier les mesures permet souvent de gagner en précision ! Mais il existe des exceptions. Je laisse le lecteur trouver des exemples : au poker, au tennis, etc. On peut voir les événements favorables défiler et les derniers être fatals ! En résumé, une suite d'événements ne converge pas forcément de façon monotone vers une probabilité de 0 ou de 1.