Biathlon
Le biathlon est une épreuve olympique regroupant ski de fond et tirs à la carabine.
Charles est justement sur le pas de tir et cela ne se passe pas bien. Son entraineur téléphone à son père Patrick et lui confie : « Allez sur la boucle réservé à ceux qui ont loupé leurs cibles. Charles devra faire un ou deux tours de pénalités. »
On suppose que Patrick a une chance sur deux de faire un tour de pénalité et de même pour deux tours de pénalité (suivant le résultat sur sa dernière cible).
Dans la première situation on suppose que Patrick a tout son temps, qu’il arrive en avance sur le tour de piste. Il voit Charles arriver. Cette situation est simple : du point de vue de Patrick, Charles a une chance sur deux de faire un seul tour.
La deuxième situation est plus complexe. Patrick ne trouve pas tout de suite cette piste. Il y arrive en retard, et aperçoit de justesse Charles en train de faire ses pénalités. On suppose que Patrick est susceptible de voir n’importe quel instant de ce parcours et que ces instants sont tous équiprobables, c’est-à-dire autant de chance de voir le début le milieu ou la fin de la pénalité.
Question
Quelle est la probabilité que Charles soit en train d’effectuer soit un soit deux tours de pénalités ?Réponse
Si Patrick voit son fils, c’est qu’il n’est pas trop en retard. Certes ! Mais pour un retardataire comme Patrick, la probabilité de voir Charles est plus grande si celui-ci a écopé de deux tours ! Si l’on suppose tous les instants équiprobables, cette simplification permet de calculer la probabilité que Charles ait pris un ou deux tours de pénalité (on peut calculer dans bien d’autres cas ou même envisager des situations ne laissant pas de doutes si Patrick disposait de plus de renseignements, mais c’est un autre débat). Le calcul complet s’effectue en comptant toutes les durées. Celles pour un tour fournissent un rapport d’un tiers et pour deux tours deux tiers.On peut affirmer que l’on a un glissement bayésiens : observer Charles passer est une information qui renforce la probabilité de voir deux tours.
A contrario, si Patrick n’avait pas vu Charles, il aurait pu dire : « Il a fini ses pénalités, cela n’a pas été long ! » et la probabilité d’un tour de pénalité seulement aurait augmenté et serait devenue plus grande que ½ (voire même égale à 1 si l'on disposait de données chiffrées adéquates).